\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

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\title{《基础复分析》第5章复积分 - 习题解答10-14}
\author{CGZ ET AL}

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\begin{document}
\maketitle 

\begin{enumerate}[start=10]

%## 《基础复分析》习题五

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\item % 10

设 $\Omega$ 是平面上以抛物线 $y^2 = 4(1-x)$ 为边界且包含原点的区域。求将 $\Omega$ 映为单位圆盘的共形映射。

%-----------------------------------------------------
{\color{red}解答：

\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]

\item  设复数 $z=x+iy$, 复数 $w=u+iv$. 

\item  首先看到 $z=w^2$ 将直线 $u=1$ 映为抛物线 $y^2=4(1-x)$. 

\item  

\item  

\end{enumerate}

}

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\item % 11

设 $P(z)$ 为 $n$ 次多项式, 且当 $|z| \leq 1$ 时, $|P(z)| \leq M$. 证明对 $R > 1$, 当 $|z| \leq R$ 时, $|P(z)| \leq MR^n$.
    
%-----------------------------------------------------
{\color{red}解答：

\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]

\item  设多项式 $P(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0$. 

\item  考虑辅助函数 $Q(z)=\frac{P(z)}{z^n}$, 则 $\lim\limits_{z\to\infty} Q(z)=a_n$. 

\item  因此 $Q(z)$ 在扩展的复平面除去原点 $\Omega:=\overline{\mathbb{C}}-\{0\}=\{z: 0<|z|\le\infty\}$ 这个区域内解析。

\item  因为 $Q(z)$ 在单连通区域 $\Omega$ 解析，根据极大模原理，
$$\sup\limits_{1\le |z|\le \infty} |Q(z)| = \sup\limits_{|z|= 1} |Q(z)| = \sup\limits_{|z|=1} |P(z)| \le M. $$

\item  特别地，对任意实数 $R>1$, 有
$$\sup\limits_{|z|= R} |Q(z)| \le M. $$

\item 因此返回原来的函数 $P(z)$ 可得
$$\sup\limits_{|z|= R} |P(z)| = \sup\limits_{|z|= R} |z^nQ(z)| \le MR^n. $$

\item  又因为 $P(z)$ 在单连通区域 $\{z:|z|< R\}$ 解析，根据极大模原理，又有
$$ \sup\limits_{|z|\le R} |P(z)| = \sup\limits_{|z|= R} |P(z)|.$$ 

\item  综合上面两个不等式，可得 
$$ \sup\limits_{|z|\le R} |P(z)| \le MR^n. $$

\end{enumerate}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item % 12

设 $g(z)$ 是非常数解析函数, $f(z)$ 是一个函数, 且 $f \circ g$ 解析. 试证 $f$ 解析.
    
%-----------------------------------------------------
{\color{red}解答：

\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]

\item  设 $g'(z_0)\neq 0$, 则 $g(z)$ 在 $z=z_0$ 的一个小邻域 $U$ 内是一一对应，因此有逆函数 $h(z)$. 

\item  设 $w=g(z)$, 则 $f(w)=f(g(z))=f(g(h(w)))$. 

\item  因为 $f\circ g$ 与 $h$ 都是解析函数，所以 $f$ 是解析函数。

\item  设 $g'(z_0)=0$. 因为不是常数函数，考虑 
$g(z)=g(z_0)+(z-z_0)^n$ 的情形，其中 $n\ge 2$.  

\item  例如，已知 $f(z^2)$ 对 $|z|<1$ 解析，证明 $f(w)$ 解析。

\item  考虑莫雷拉定理。

\end{enumerate}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item % 13

试证全平面上的解析函数如果以 $\infty$ 为极点, 则一定是多项式.
    
%-----------------------------------------------------
{\color{red}解答：

\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]

\item  

\item  

\item  

\end{enumerate}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item % 14

试证全平面上的解析函数 $f(z)$ 如果满足 $|f(z)| \leq M|z|^n$, 其中 $M > 0$ 为常数, 则 $f(z)$ 是次数不超过 $n$ 的多项式.
    
%-----------------------------------------------------
{\color{red}解答：

\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]

\item  

\item  

\item  

\end{enumerate}

}

\end{enumerate}

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\end{document}

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